Intégrale de \( \cos^3 x \)

Dérivation et évaluation

Trouvez l'intégrale :

\[ \int \cos^3 x \, dx \]

Écrivons l'intégrale en isolant un facteur cosinus unique :

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cos x \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) pour réécrire l'intégrande :

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \]

Développons l'intégrande et séparons l'intégrale en deux parties :

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx \]

Utilisez l'intégration par substitution pour le second terme : posons \( u = \sin x \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) ou \( du = \cos x \, dx \). En substituant ceci, on obtient :

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int u^2 \, du \]

Utilisez les formules d'intégrales standard pour évaluer chaque intégrale :

\[ \int \cos^3 x \, dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

où \( c \) est la constante d'intégration.

Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = \sin x \) pour trouver le résultat final :